Question

（文）已知函數f（x）=2^x-1的反函數為f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）f^-1（x）；
（2）用定義證明f^-1（x）在定義域上的單調性；
（3）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）從條件中函數式f（x）=2^x-1中反解出x，再將x，y互換即得．
（2）由（1）求出反函數的解析式及定義域，在定義域內任取兩個自變量-1＜x₁＜x₂，化簡f^-1（x₁）-f^-1（x₂）的結果，把此結果和0作對比，依據單調性的定義做出判斷．
（3）把解析式代入不等式，利用對數函數的單調性和定義域解此不等式．

解答：解：（1）函數f（x）的值域為（-1，+∞），
由y=2^x-1得x=log₂（y+1），
所以f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）（4分）
（2）證明：任取-1＜x₁＜x₂，
f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=log₂（x₁+1）-log₂（x₂+1）=log₂

x1+1

x2+1

由-1＜x₁＜x₂得0＜x₁+1＜x₂+1，因此
0＜

x1+1

x2+1

＜1得log₂

x1+1

x2+1

＜0
所以f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）
故f^-1（x）在（-1，+∞）上為單凋增函數．（9分）
（3）f^-1（x）≤g（x）即
log₂（x+1）≤log₄（3x+1）?

x+1＞0 3x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

?

x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

（11分）
解之得0≤x≤1，所以x的取值范圍是[0，2]（13分）

點評：本題考查反函數的求法，證明函數的單調性的方法，以及利用對數函數的單調性和定義域解對數不等式．求反函數，一般應分以下步驟：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交換x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函數的定義域（一般可通過求原函數的值域的方法求反函數的定義域）．