Question

【題目】已知函數．

（1）證明：；

（2）設，在上的極值點從小到大排列為，求證：時，．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析

【解析】

（1）利用導數求得的最大值；

（2），的極值點就是的零點，

計算出，，在區間上，，無零點，，在區間上，由得是減函數，雙由，，知有一個零點，由此可得在和上各有一個零點，也即在只有兩個零點，小的記為，在的記為，且，由零點得證得，結合正弦函數的性質及、的范圍可證得題設不等式成立．

（1）時，，

故在上是減函數，

所以；

（2），

故，

令，，，

在區間上，，

故在上僅有1個零點，設為，

在上，為增函數，

，

故在上僅有1個零點，

故在上僅有1個零點，設為；

在上，為減函數，

，

故在上僅有1個零點，

故在上僅有1個零點，設為，

又在區間上，無零點，

故在一個區間上，有兩個零點，

且，

，，

而，

又與，

可得：

∴．