Question

【題目】已知數列滿足，，.

（1）若，寫出所有可能的值；

（2）若數列是遞增數列，且、、成等差數列，求p的值；

（3）若，且是遞增數列，是遞減數列，求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）、、、；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，，，分別取、、即可得出的所有可能取值；

（2）由數列是遞增數列，得出，且有，得出、關于的表達式，然后利用、、成等差數列得出關于的方程，解出即可；

（3）由數列是遞增數列得出，可得，但，可得出，可得出，由數列為遞減數列，同理可得，進而得到，再利用累加法可求出數列的通項公式.

（1）當時，，則，，或.

當時，或；當時，或；當時，或.

因此，的所有可能取值有、、、；

（2）數列是遞增數列，則，則，，

，同理得，

由于、、成等差數列，則，即，

整理得，，解得；

（3）數列是遞增數列，所以，

即①，

但，所以②，

由①②知，，所以③.

數列是遞減數列，同理可得，

所以④，

由③④知，.

由累加法得.