Question

【題目】據統計，在不考慮其他因素的條件下，某段下水道的排水量V（單位：立方米/小時）是垃圾雜物密度x（單位：千克/立方米）的函數。當下水道的垃圾雜物密度達到3千克/立方米時，會造成堵塞，此時排水量為0；當垃圾雜物密度不超過0.5千克/立方米時，排水量是80立方米/小時。研究表明，當時，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數.

（1）當時，求函數的解析式；

（2）當垃圾雜物密度x為多大時，垃圾雜物量（單位時間內通過某段下水道的垃圾雜物量，單位：千克/小時）可以達到最大？求出這個最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）密度千克/立方米時，最大值72千克/小時

【解析】

(1)當時設，代入點（0.5，80），（3，0）列出方程組求解即可，當時，；最后用分段函數表示出即可；(2)表示出的解析式為分段函數，對上的函數利用一次函數的單調性求最大值，對上的函數利用二次函數的單調性求最大值，比較兩段的最大值即可得解.

（1）當時，設函數的解析式為.

將（0.5，80），（3，0）代人得，解得，

所以

（2）.

當時，單調遞增，最大值為40千克/小時；

當時，.

所以當時，取到最大值72，

即當垃圾雜物密度千克/立方米時，取得最大值72千克/小時.