Question

已知橢圓方程為，左、右焦點(diǎn)分別是，若橢圓上的點(diǎn)到的距離和等于．
（Ⅰ）寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；
（Ⅲ）直線過定點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若為銳角（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程，焦點(diǎn)
（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）由題意得：，
又點(diǎn)橢圓上，∴
∴　橢圓的方程，焦點(diǎn)．　                     ……5分
（Ⅱ）設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段中點(diǎn)，
由題意得：，
代入橢圓的方程得，，
即為線段中點(diǎn)的軌跡方程．　　　                       ……9分
（Ⅲ）由題意得直線的斜率存在且不為，
設(shè)代入整理，
得　，
　　　①
設(shè)，∴　
∵為銳角，即，
又　．
∴　

，　∴　．　②
由①、②得　，∴的取值范圍是．　              ……14分
點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線的綜合問題一般離不開直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，運(yùn)算量較大，注意到聯(lián)立得到直線方程后，不要忘記驗(yàn)證.