Question

（本小題滿分12分） 已知直線L：y=x+1與曲線C：交于不同的兩點A,B;O為坐標原點。
（1）若，試探究在曲線C上僅存在幾個點到直線L的距離恰為？并說明理由；
（2）若，且a>b,,試求曲線C的離心率e的取值范圍。

Answer 1

（1）在曲線C上存在3個點到直線L的距離恰為（2）

試題分析：(1)在曲線C上存在3個點到直線L的距離恰為。
設，由得，
                                           2分
又點A,B在直線L上，得，，代入上式化簡得
                                          4分
由
由               6分
所以，于是，這時曲線C表示圓
，O到直線L的距離d=,即有3個點         8分
（2）因為a>b,所以曲線C為焦點在x軸上的橢圓
由，所以，
又，，              9分
由（1）得，，代入上式整理得
，
      可得     
而 
       12分
點評：第一問由直線與圓錐曲線相交首先利用韋達定理確定了曲線的特點（為圓）進而轉化為求圓上的點到直線的距離，第二問求離心率范圍，將離心率求解函數式用已知中的變量a表示，轉換為求函數值域