Question

設函數f（x）=|2x-1|+|ax-3|，x∈R
（Ⅰ）若a=1時，解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若a=2時，g（x）=

1

f(x)+m

的定義域為R，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）通過對x取值范圍的分類討論，去掉絕對值符號，轉化為一次不等式，解之取并即可；
（Ⅱ）依題意知，f（x）+m=0在R上無解；利用絕對值不等式可求得f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，從而可得實數m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=|2x-1|+|x-3|，∵f（x）≤5，
∴

x＜ 1 2 4-3x≤5

或

1 2 ≤x≤3 x+2≤5

或

x＞3 3x-4≤5

，解得-

1

3

≤x＜

1

2

，或

1

2

≤x≤3，或x∈∅，
∴-

1

3

≤x≤3．
∴不等式的解集為[-

1

3

，3]…5分
（Ⅱ）g（x）=

1

f(x)+m

的定義域為R，則f（x）+m≠0，即f（x）+m=0在R上無解；
又a=2時，f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，即f（x）_min=2，
∴m＞-2…10分

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價轉化思想的綜合應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．