Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點，E為PA的中點． （Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求面PAD與面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）設F為DC的中點，連接BF，則DF=AB ∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四邊形ABFD為正方形，
∵O為BD的中點，
∴O為AF，BD的交點，
∵PD=PB=2，
∴PO⊥BD，
∵ = ，
∴ = ， ，
在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0）F（1，1，0），C（1，3，0）， ， ，
則 ， ， ， ．
∴
∴OE∥PF
∵OE平面PDC，PF平面PDC，
∴OE∥平面PDC；
（Ⅲ）解：設平面PAD的法向量為 ，
則 ，即 ，
解得 ，
設平面PBC的法向量為
同理可得
則 ，∴面PAD與面PBC所成角的大小為

【解析】（Ⅰ）由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質證明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，從而證得PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出 可得 OE∥PF，從而證得OE∥平面PDC． （Ⅲ）求出平面PAD的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式即可求面PAD與面PBC所成角的大小．