Question

【題目】已知函數f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex ．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若a∈（0，2），對于任意x1 ， x2∈[﹣4，0]，都有 恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x+2）（x﹣a）ex，

①若a＜﹣2，則f（x）在（﹣∞，a），（﹣2，+∞）上單調遞增，在（a，﹣2）單調遞減；

②若a=﹣2，則f（x）在R上單調遞增；

③若a＞﹣2，則f（x）在（﹣∞，﹣2），（a，+∞）上單調遞增，在（﹣2，a）單調遞減；

（2）解：由（1）知，當a∈（0，2）時，f（x）在（﹣4，﹣2）上單調遞增，在（﹣2，0）單調遞減，

所以f（x）max=f（﹣2）=（a+4）e﹣2，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），

故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=a（e﹣2+1）+4e﹣2，

|f（x1）﹣f（x2）|＜4e﹣2+mea恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+mea恒成立，

即m＞ （e﹣2+1）恒成立，

令g（x）= ，x∈（0，2），易知g（x）在其定義域上有最大值g（1）= ，

所以m＞

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）根據函數的單調性求出f（x）的最大值，問題轉化為m＞ （e﹣2+1）恒成立，令g（x）= ，x∈（0，2），根據函數的單調性求出m的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．