Question

若（

1

3 x

-

x

）ⁿ展開式中奇數項各項的二項式系數和為64，則展開式中的有理項是

 

．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：由條件求得n=7，在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數為有理數，求出r的值，可得展開式中的有理項．

解答： 解：∵（

1

3 x

-

x

）ⁿ展開式中奇數項各項的二項式系數和為2^n-1=64，∴n=7．
∴（

1

3 x

-

x

）ⁿ=（

1

3 x

-

x

）⁷開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 7

•（-1）^r•x

5r

6

-

7

3

，
令

5r

6

-

7

3

為有理數，可得5r-14為6的倍數，∴r=4，
∴展開式中的有理項是

C

4 7

x=35x，
故答案為：35x．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．