Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ，a_2n+1=a_2n+3ⁿ（n∈N^*）．
（1）求a₃、a₅、a₇的值；
（2）求a_2n-1（用含n的式子表示）；
（3）（理）記數列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）由a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ，a_2n+1=a_2n+3ⁿ（n∈N^*），分別令n=1，2，3可求結果；
（2）累加法：a_2n+1-a_2n-1=3ⁿ+（-1）ⁿ（n∈N^*），得a_2n-1-a_2n-3=3^n-1+（-1）^n-1，a_2n-3-a_2n-5=3^n-2+（-1）^n-2，…a₅-a₃=3²+（-1）²，a₃-a₁=3¹+（-1）¹，以上各式累加可得；
（3）由a2n-1=

3n-(-1)n

2

-1（n∈N^*），得a2n=

3n+(-1)n

2

-1（n∈N^*）．則a2n-1+a2n=3n-2．當n為偶數時S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n），
當n為奇數時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n，再由求和公式可得；

解答： 解（1）∵a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ，a_2n+1=a_2n+3ⁿ（n∈N^*），
∴a2=a1+(-1)1=0，
a3=a2+31=3，
a₄=a₃+1=4，
a5=a4+32=13，
a₆=a₅-1=12，
a7=a6+33=39．
（2）由題意知，a_2n+1-a_2n-1=3ⁿ+（-1）ⁿ（n∈N^*）．
∴a_2n-1-a_2n-3=3^n-1+（-1）^n-1，
a_2n-3-a_2n-5=3^n-2+（-1）^n-2，
…
a₅-a₃=3²+（-1）²，
a₃-a₁=3¹+（-1）¹，
以上各式累加得，a_2n-1-a₁=3¹+3²+…3^n-1+[（-1）¹+（-1）²+…+（-1）^n-1]．
∴a2n-1=

3n-(-1)n

2

-1（n∈N^*）．
（理）（3）∵a2n-1=

3n-(-1)n

2

-1（n∈N^*），
∴a2n=

3n+(-1)n

2

-1（n∈N^*）．
∴a2n-1+a2n=3n-2．
又S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
1°當n為偶數時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=（3-2）+（3²-2）+…+（3

n

2

-2）
=

3

2

•3

n

2

-n-

3

2

．
2°當n為奇數時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n
=(3-2)+(32-2)+…+(3

n-1

2

-2)+

3 n+1 2 -(-1) n+1 2

2

-1
=3

n+1

2

-n-

3

2

-

(-1) n+1 2

2

．
綜上，有Sn=

3 2 •3 n 2 -n- 3 2 ，n為偶數 3 n+1 2 -n- 3 2 - (-1) n+1 2 2 ，n為奇數

（n∈N^*）．

點評：該題考查由數列遞推式求數列通項，考查數列求和，考查學生的運算求解能力，考查分類與整合思想．