Question

【題目】如圖，橢圓 的離心率為 ，頂點(diǎn)為A1、A2、B1、B2 ， 且 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線B2P交x軸于點(diǎn)Q，直線A1B2交A2P于點(diǎn)E．設(shè)A2P的斜率為k，EQ的斜率為m，試問2m﹣k是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，則 ，

由題意及圖可得A1（﹣a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），

∴

又 ，則a2﹣b2=3，∴

∴

∴橢圓C的方程為： ；

（2）

解：證明：由題意可知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣1），B2（0，1），

由A2P的斜率為k，則直線A2P的方程為y=k（x﹣2），

由 ，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，

其中 ，則 ， ，

則直線B2P的方程為 = （ ），

令y=0，則 ，即

直線A1B2的方程為x﹣2y+2=0，

由 解得 ，則 ，

則EQ的斜率 ，

∴ （定值），

2m﹣k為定值 ．

【解析】（1）由橢圓的離心率公式，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得c的值，求得a的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線A2P的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，直線B2P的方程為 = （ ），求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立求得E點(diǎn)坐標(biāo)，求得m，則 （定值）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．