Question

【題目】如圖，五面體ABCDE中，四邊形ABDE是菱形，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∠DBA=60°， ．
（1）證明：DC⊥AB；
（2）若點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影H，求CH與平面BCD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連OC，OD，

因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以 ，

又四邊形ABDE是菱形，∠DBA=60°，所以△DAB是正三角形，

所以 ，

而OD∩OC=O，所以AB⊥平面DOC，

所以AB⊥CD．

（2）解：由（1）知OC=CD，平面DOC⊥平面ABD，

因?yàn)槠矫鍰OC與平面ABD的交線為OD，

所以點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影H必在OD上，

所以H是OD的中點(diǎn)，

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz， ， ，

所以 ， ， ，

設(shè)平面BDC的法向量為 ，則 ，取 ，則x=3，z=1，

即平面BCD的一個(gè)法向量為 ．

所以CH與平面BCD所成的角的正弦值為 = ．

【解析】（1）取AB的中點(diǎn)O，連OC，OD，證明：AB⊥平面DOC，即可證明DC⊥AB；（2）若點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影H，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求CH與平面BCD所成的角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．