Question

如圖，四邊形與均為菱形，，且.

（1）求證：；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）連結FO.由四邊形ABCD為菱形，得，且O為AC中點.
根據FA=FC，得到.. 
（Ⅱ）由四邊形與均為菱形，
得到得出
平面， .
（Ⅲ）二面角A-FC-B的余弦值為.

試題分析：（Ⅰ）證明：設AC與BD相交于點O，連結FO.
因為四邊形ABCD為菱形，所以，且O為AC中點.
又FA=FC，所以.             2分
因為，
所以.                               3分
（Ⅱ）證明：因為四邊形與均為菱形，
所以
因為
所以
又，
所以平面
又
所以.              6分
（Ⅲ）解：因為四邊形BDEF為菱形，且，所以為等邊三角形．
因為為中點，所以由（Ⅰ）知，故
.
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.
設AB=2．因為四邊形ABCD為菱形，，則BD=2，所以OB=1，.
所以.      8分
所以.
設平面BFC的法向量為則有  所以
取，得.      12分
易知平面的法向量為.
由二面角A-FC-B是銳角，得
.
所以二面角A-FC-B的余弦值為.    14分

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。證明過程中，往往需要將立體幾何問題轉化成平面幾何問題加以解答。本題解答，通過建立適當的空間直角坐標系，利用向量的坐標運算，簡化了繁瑣的證明過程，實現了“以算代證”，對計算能力要求較高。