Question

如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使的平面ABD⊥平面CBD,AE⊥平面ABD,且AE=，

（1） 求證：DE⊥AC
（2）求DE與平面BEC所成角的正弦值
（3）直線BE上是否存在一點M，使得CM//平面ADE,若存在，求M的位置，不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）以A為原點，以射線AB,AC,AE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則由C作平面ABD的垂線，垂足為F，則F為BC的中點，,所以點C的坐標(biāo)為，
故：DE⊥AC（2）（3）存在M為BE的中點，使得CM//平面ADE

試題分析：以A為原點，以射線AB,AC,AE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則
由C作平面ABD的垂線，垂足為F，則F為BC的中點，,
所以點C的坐標(biāo)為。
（1）,故：DE⊥AC。
（2）
設(shè)平面BCE的法向量為，則,
設(shè)線面角為，
（3）設(shè)，則。若CM//平面ADE，則，所以，故存在M為BE的中點，使得CM//平面ADE。
點評：采用空間向量的方法求解立體幾何問題的步驟：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點及相關(guān)向量的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入證明或計算求解的對應(yīng)公式求解，空間向量法要求學(xué)生數(shù)據(jù)處理時認(rèn)真仔細(xì)