Question

13．已知函數f（x）=x²-2axlnx-2a+1（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）≥0對任意 在x∈[1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，化簡f（x）=x²-4xlnx-3，求出f'（x），得到切線斜率，求出切點坐標，然后求解曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（2）不等式f（x）≥0等價于不等式$x-\frac{2a-1}{x}-2alnx≥0$，記$g（x）=x-\frac{2a-1}{x}-2alnx$，求出函數的導數，求出極值點，通過①當a≤1時，判斷單調性，求出最小值，②當a＞1，求出函數的最小值，即可推出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=x²-4xlnx-3，則f'（x）=2x-4（lnx+1）=2x-4-4lnx，故切線斜率k=f'（1）=-2，又因為切點為（1，-2），所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=-2（x-1），即y=-2x．
（2）不等式f（x）≥0等價于不等式$x-\frac{2a-1}{x}-2alnx≥0$，
記$g（x）=x-\frac{2a-1}{x}-2alnx$，則$g'（x）=1+\frac{2a-1}{x^2}-\frac{2a}{x}=\frac{{{x^2}-2ax+2a-1}}{x^2}=\frac{{[{x-（{2a-1}）}]（{x-1}）}}{x^2}$，令g'（x）=0，得x=2a-1或x=1．
①當2a-1≤1，即a≤1時，g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）單調遞增，
所以g（x）_min=g（1）=2-2a≥0，解得a≤1，此時a≤1．
②當2a-1＞1時，即a＞1，x∈（1，2a-1）時，g'（x）＜0，x∈（2a-1，+∞）時，g'（x）＞0，所以
函數g（x）在（1，2a-1）上單調遞減，在（2a-1，+∞）上單調遞增，于是g（x）_min=g（2a-1）＜g（1）=2-2a＜0，不合題意，舍去．
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，1]．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的極值最值的求法，構造法的應用，考查轉化思想以及計算能力．