Question

A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂，根據市場分析，X₁和X₂的分布列分別為

X1	5%	10%
P	0.8	0.2

 

X2	2%	8%	12%
P	0.2	0.5	0.3

(1)在A，B兩個項目上各投資100萬元，Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差V(Y₁)、V(Y₂)；
(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項目，100－x萬元投資B項目，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值．

Answer 1

(1)4   12    (2) x＝75時，f(x)＝3為最小值

解：(1)由題設可知Y₁和Y₂的分布列分別為

Y1	5	10
P	0.8	0.2

 

Y2	2	8	12
P	0.2	0.5	0.3

E(Y₁)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
V(Y₁)＝(5－6)²×0.8＋(10－6)²×0.2＝4；
E(Y₂)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
V(Y₂)＝(2－8)²×0.2＋(8－8)²×0.5＋(12－8)²×0.3＝12.
(2)f(x)＝V＋V
＝²V(Y₁)＋²V(Y₂)
＝[x²＋3(100－x)²]
＝(4x²－600x＋3×100²)，
當x＝＝75時，f(x)＝3為最小值.