Question

【題目】如圖，平面平面，四邊形和是全等的等腰梯形，其中，且，點為的中點，點是的中點.

（I）請在圖中所給的點中找出兩個點，使得這兩個點所在直線與平面垂直，并給出證明；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在線段上是否存在點，使得平面？如果存在，求出的長度，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）；（III）見解析.

【解析】試題分析： 法一：向量法，分別以邊， ， 所在直線為， ， 軸，給出相應點坐標，證明， 法二：先證 接著證明所以 平面即最后證得結果(2)要求二面角的平面角的余弦值就先求得平面的法向量，利用公式即可算出結果(3)法一：借助向量假設存在，計算可得矛盾，故不存在；法二：假設存在點，證得平面平面，即有為平行四邊形，所以，矛盾

解析：法一：向量法

（I）， 點為所求的點.

證明如下：

因為四邊形是等腰梯形，點為的中點，點是的中點，

所以.

又平面 平面，平面 平面= ，

所以 平面

同理取的中點，則 平面.

分別以邊， ， 所在直線為， ， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

由，得， ， ， ，

則， ， .

所以，

又，

所以平面

（II）由（I）知平面的一個法向量為.

設平面的法向量為，則

即

令，則，

所以

所以

所以二面角的余弦值為

（III）假設存在點，使得 平面.

設

所以 ，所以

而計算可得

這與矛盾

所以在線段上不存在點，使得 平面

法二：（I）證明如下：

因為四邊形是等腰梯形，點為的中點，點是的中點，

所以

又平面平面，平面平面，

所以 平面

因為 平面，所以，

又，且，

所以為菱形，所以

因為，

所以平面.

（III）假設存在點，使得平面

由，所以為平行四邊形，

所以

因為平面

所以平面

又，所以平面平面，

所以平面，所以，

所以為平行四邊形，所以，矛盾

所以不存在點，使得平面