Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.

(1)若，求證: ;

(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)

【解析】

（1）取中點，連接，，易知要證，先證平面；

（2）如圖以為坐標原點，分別以，，為軸軸軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可得到結果.

(1)證明:取中點，連接，，有，因為，所以，又因為三棱柱為直三棱柱，

所以平面平面，又因為平面平面，

所以平面，又因為平面，

所以

又因為，，平面，平面，

所以平面，

又因為平面，

所以，

因為，

所以.

(2)設，如圖以為坐標原點，分別以，，為軸軸軸，建立空間直角坐標系，

由 (1)可知，，所以，

故，，，，，

對平面，，，

所以其法向量為.

又，

所以直線與平面成角的正弦值.