Question

如圖，四棱錐中,，底面為梯形，，，且.（10分）

（1）求證：;
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）二面角的余弦值為．

試題分析：（1）連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié)，由所給條件可得，即，則；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則可得坐標(biāo)，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由
，可得，同理為平面的一個(gè)法向量，， 知二面角的余弦值.
試題解析：（1）連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié)， ∵，， ∴
又 ∵, ∴∴ 在△BPD中，
   ∴∥平面----------------4分

（2）方法一：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，，∴，
解得，∴．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，
又，，∴，
解得，∴  
∴二面角的余弦值為．-------------------10分
方法二：在等腰Rt中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則 

∵面⊥面，面面=，∴平面．
在平面內(nèi)，過(guò)作直線于，連結(jié)，由、，
得平面，故．
∴就是二面角的平面角．
在中，設(shè)，，，
，，
由，可知：∽，
∴，  代入解得：．
在中，，
∴，．
∴二面角的余弦值為．