Question

如圖，，為圓柱的母線，是底面圓的直徑，，分別是，的中點(diǎn)，．
（1）證明：；
（2）證明：；
（3）假設(shè)這是個(gè)大容器，有條體積可以忽略不計(jì)的小魚能在容器的任意地方游弋，如果魚游到四棱錐 內(nèi)會(huì)有被捕的危險(xiǎn)，求魚被捕的概率.

Answer 1

（1）參考解析；（2）參考解析；（3）

試題分析：（1）由于點(diǎn)E是A₁C是的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，連接OE，OA，由三角形的中位線可得OE∥BB₁，并且OE=.又∥,并且.所以EO與DA平行且相等.所以四邊形EOAD是平行四邊形.所以DE∥AO.即可得到結(jié)論.
（2）由是母線，所以平面ABC.所以可得,又BC是圓得直徑，所以.由此可得結(jié)論.
（3）由，即可得到面.即.所以.設(shè)圓的半徑為r，圓柱的高為h，所以.圓柱的體積為.所以魚被捕的概率為.
（1）證明：連結(jié)，，分別為的中點(diǎn)，∴．
又，且.∴四邊形是平行四邊形，
即．∴．       4分
（2） 證明：，為圓柱的母線，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052510902365.png" style="vertical-align:middle;" />垂直于圓所在平面，故，
又是底面圓的直徑，所以，，所以，
由，所以.  8分
（3）解：魚被捕的概率等于四棱錐與圓柱的體積比，
由，且由（1）知.∴，
∴ ，∴．
因是底面圓的直徑，得，且，
∴，即為四棱錐的高．設(shè)圓柱高為，底半徑為，
則，，
∴：，即 .    12分