Question

已知側棱垂直于底面的四棱柱,ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AD="A" A₁，
點F為棱BB₁的中點，點M為線段AC₁的中點.
(1)求證： MF∥平面ABCD
(2)求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析．

試題分析：
解題思路：（1）構造三角形，利用中位線證明線線平行，再利用線面平行的判定定理證明線面平行；
（2）由線面垂直得到線線垂直，再證明線面垂直，進而證明面面垂直.
規律總結：對于空間幾何體中的垂直、平行關系的判定，要牢牢記住并靈活進行轉化，線線關系是關鍵.
試題解析：（1）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN.
∵F是BB₁的中點，∴F為C_!N的中點，B為CN的中點，
∴又因為M為線段AC_！的中點，∴MF∥AN，
又平面ABCD，平面ABCD，
∥平面ABCD.
連接BD，由題知平面AB-CD，又平面ABCD，.
四邊形ABCD為菱形，.
又,平面,平面,平面.
在四邊形DANB中，DA∥BN,且DA=BN,，四邊形DANB為平行四邊形，∥BD，平面。又平面，平面⊥平面.