Question

已知圓C經過兩點，且在軸上截得的線段長為，半徑小于5.（1）求直線與圓C的方程；（2）若直線，直線與圓C交于點A、B，且以AB為直徑的圓經過坐標原點，求直線的方程.

Answer 1

（1）直線PQ：，圓C方程：
（2）直線或.

解析試題分析：（1）根據直線方程的點斜式求解所求的直線方程是解決本題的關鍵，根據待定系數法設出圓心坐標和半徑，尋找未知數之間的關系是求圓的方程的關鍵，注意弦長問題的處理方法；
（2）利用直線的平行關系設出直線的方程，利用設而不求的思想得到關于所求直線方程中未知數的方程，通過方程思想確定出所求的方程，注意對所求的結果進行驗證和取舍．
試題解析：（1）直線PQ的方程為即直線PQ的方程為x+y-2=0，
C在PQ的中垂線即y=x-1上，
設C（n，n-1），則r²=|CQ|²=（n+1）²+（n-4）²，
由題意，有 ∴n²+12=2n²-6n+17，
∴n=1或5（舍去），r²=13或37（舍去），
∴圓C的方程為．
（2）設直線l的方程為x+y+m=0，由,消去y得2x²+（2m-2）x+m²-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1-m，x₁x₂=
又∵以AB為直徑的圓經過坐標原點∠AOB=90°，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴，將韋達定理的結果代入并整理化間得m²+m-12=0，
∴m=3或-4（均滿足△＞0），
∴l的方程為x+y+3=0或x+y-4=0．
考點：1.直線方程；2．圓的方程；３．直線與圓的位置關系．