Question

求過原點且與函數f（x）=

lnx

x

圖象相切的直線方程為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：設出切點坐標（x0，

lnx0

x0

），求出切點出的導數，由直線方程點斜式寫出切線方程，代入原點坐標求得切點，則答案可求．

解答： 解：由f（x）=

lnx

x

，得：f′(x)=

1-lnx

x2

，
設切點為（x0，

lnx0

x0

），
則f′(x0)=

1-lnx0

x02

，
∴過切點（x0，

lnx0

x0

）的切線方程為：
y-

lnx0

x0

=

1-lnx0

x02

(x-x0)．
又切線過（0，0），
∴-

lnx0

x0

=-

1

x0

+

lnx0

x0

，解得：x0=

e

．
∴過原點且與函數f（x）=

lnx

x

圖象相切的直線方程為：
y-

1

2 e

=

1

2e

(x-

e

)，即：x-2ey=0．
故答案為：x-2ey=0．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，關鍵是明確給出的點是否為切點，是中檔題也是易錯題．