Question

【題目】如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD， ， ．

（1）當 時，求證：BM∥平面ADEF；
（2）若平面BDM與平面ABF所成銳角二面角的余弦值為 時，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取DE中點N，連結MN，AN，

當λ= 時，M為EC中點，又N是DE中點，

∴MN∥CD，MN= ．

∵AB∥CD，AB= ，

∴AB∥MN，AB=MN．

∴四邊形ABMN是平行四邊形，

∴BM∥AN，∵AN平面ADEF，BM平面ADEF，

∴BM∥平面ADEF

（2）證明：以D為坐標原點建立空間坐標系如圖：

則 為平面ABF的一個法向量， ．

， =（0，4λ，2﹣2λ）．

設 =（x，y，z）為平面BDM的一個法向量，

則 ，令z=1，得 =（ ， ，1）．

∴cos＜ ＞= = =﹣ ．

解得 （舍）或λ= ．

【解析】（1）取DE中點N，連結MN，AN，則由中位線定理可得BM∥AN，從而BM∥平面ADEF；（2）建立空間坐標系，求出平面ABF和平面BDM的法向量，根據法向量夾角與二面角的關系列方程解出λ．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．