Question

已知函數，
（1）求在處切線方程；
（2）求證：函數在區間上單調遞減；
（3）若不等式對任意的都成立，求實數的最大值.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）

試題分析：（1）先求導函數，再求，再用點斜式方程求切線方程；（2）要證明函數在區間上單調遞減，只需證明在恒成立，先求導，分母大于0，只需證明分子小于0恒成立，構造函數，說明其最大值小于0即可，這樣就把問題轉化為求函數的最大值問題了，繼續求導，發現，故遞減，所以；
（3）恒成立問題可以考慮參變分離，兩邊取自然對數得，從而參變分離為，只需用導數求右邊函數的最小值即可，為了便于求導可換元，設，則，進而用導數求其最小值.
試題解析：（1）由已知切線方程；
（2），令=， ， 在（0,1）上是減函數；
（3） 兩邊取對數 即，令 設，設， 由（2）知函數在區間上單調遞減，在上是減函數，在上是減函數 即.