Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對于定義域內(nèi)的任意x，滿足f（x）=-f（x+1），且當(dāng)-1＜x≤1時，f（x）=1-x²，若函數(shù)g（x）=f（x）+x-a恰有兩個零點，則實數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合為（　　）

• A、{a|a=2k+

  3

  4

  或2k+

  5

  4

  ，k∈N}
• B、{a|a=2k-

  1

  4

  或2k+

  3

  4

  ，k∈N}
• C、{a|a=2k+1或2k+

  5

  4

  ，k∈N}
• D、{a|a=2k+1，k∈Z}

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，可結(jié)合圖象進(jìn)行解題．

解答： 解：∵對于定義域內(nèi)的任意x，滿足f（x）=-f（x+1），
 且當(dāng)-1＜x≤1時，f（x）=1-x²，
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
∵g（x）=f（x）+x-a，
令h（x）=a-x，
∴函數(shù)g（x）的零點個數(shù)等價于f（x）和h（x）的交點個數(shù)，
如圖示：
，
∴①h（x）過（1，0）點時與函數(shù)f（x）=1-x²有兩個交點，
把（1，0）代入h（x）=a-x，解得：a=1，
②函數(shù)h（x）與f（x）=1-x²相切時和圖象有兩個交點，
∴

y=a-x y=1-x2

，
∴x²-x+a-1=0，
△=1-4（a-1）=0，
解得：a=

5

4

，
∴a=2k+1，或a=2k+

5

4

，k∈Z，
故選：C．

點評：本題考察了函數(shù)的零點問題，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，考察了周期函數(shù)，是一道中檔題．