Question

計算：（1）∫

2

1

1-(x-1)2

dx；
（2）

-2 3 +i

1+2 3 i

+(

2

1+i

)2006+

(4-8i)2-(8i-4)2

11 - 7 i

．

Answer 1

分析：（1）根據積分所表示的幾何意義是以（1，0）為圓心，1為半徑第一象限內圓弧與坐標軸圍成的面積，只需求出圓的面積乘以四分之一即可．
（2）首先進行復數的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數，把兩個式子整理成最簡形式，再把代數形式變化成三角形式，進行乘方運算，最后合并同類項，得到結果．

解答：解：（1）∫

2

1

1-(x-1)2

dx表示的幾何意義是：
以（1，0）為圓心，1為半徑第一象限內的四分之一個圓弧與坐標軸圍成的面積，
∴∫

2

1

1-(x-1)2

dx=

1

4

×π×1=

π

4

（2）復數

-2 3 +i

1+2 3 i

+(

2

1+i

)2 006+

(4-8i)2-(8i-4)2

11 - 7 i

=

-(2 3 -i)(1-2 3 i)

(1+2 3 i)(1-2 3 i)

+[

2 (1-i)

(1-i)(1+i)

]2006+0
=

13i

13

+[cos（-45°）+isin（-45°）]²⁰⁰⁶
=i+[cos（-2006×45°）+isin（-2006×45°）]
=i+（-cos90°+isin90°）
=2i．

點評：（1）本小題主要考查了定積分，定積分運算是求導的逆運算，解題的關鍵是求原函數，也可利用幾何意義進行求解，屬于基礎題．
（2）本小題考查復數代數形式的混合運算，考查考查復數的代數形式與三角形式的轉化，考查復數的乘方運算，是一個比較簡單的綜合題目．