Question

已知矩陣A=

4 -2 1 1

，向量α=

4 3

．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂和特征向量α₁，α₂；
（2）計算A⁴α．

Answer 1

分析：（1）先根據特征值的定義列出特征多項式 f(λ)=

.

λ-4 -2 1 λ-1

.

，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（2）利用特征向量的性質計算，先利用特征向量表示向量

α

，后將求 A⁴α的值的問題轉化成求有關特征向量的計算問題．

解答：解：（1）矩陣A的特征多項式為 f(λ)=

.

λ-4 -2 1 λ-1

.

=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
當λ₁=2時，得

α1

=

2 1

，當λ₂=3時，得

α2

=

1 1

．（7分）
（2）由

α

=m

α1

+n

α2

得

m+2n=4 m+n=3

，得m=2，n=1．
∴A⁴α=2λ

4 1

α 1+λ 

4 2

α 2=

194 113

．（15分）

點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算以及利用特征向量求向量乘方的問題，屬于向量中的基礎題．