Question

【題目】已知二次函數的圖象的頂點坐標為，且過坐標原點.數列的前項和為，點在二次函數的圖象上.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，數列的前項和為，若對恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）在數列中是否存在這樣一些項：，這些項都能夠構成以為首項，為公比的等比數列？若存在，寫出關于的表達式；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）存在，

【解析】

試題（Ⅰ）由已知可得數列的前項和為的公式，再利用求得數列的通項公式；

（Ⅱ）分n為奇數與偶數先求出，由使對恒成立，通過分離參數t轉化為求函數的最值，即可求得實數的取值范圍；

（Ⅲ）由知，數列中每一項都不可能是偶數，假設存在，對q的每一個取值：1，2，3，4逐一討論即可獲得結論．

試題解析：（Ⅰ）由題意可知

所以

當時，

當時適合上式

所以，數列的通項公式為

（Ⅱ）因為

所以

由（Ⅰ）可知，數列是以1為首項，公差為的等差數列.

當時，

當時，

所以；

要使對恒成立，

只要使為正偶數）恒成立.

即使對為正偶數恒成立，

故實數的取值范圍是

（Ⅲ）由知，數列中每一項都不可能是偶數.

如存在以為首項，公比為2或4的數列，此時中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以為首項，公比為偶數的數列.

當時，顯然不存在這樣的數列.

當時，若存在以為首項，公比為3的數列，則

所以存在滿足條件的數列，且