Question

【題目】已知函數的極大值為,其中為自然對數的底數.

（1）求實數的值；

（2）若函數,對任意,恒成立.

（i）求實數的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）求函數定義域,然后對函數求導,根據函數單調性,得出時,有極大值,即可算出實數的值.

（2）（i）由（1）知,,代入中,根據,整理至即對恒成立,設新函數,將原問題轉化為：對恒成立,分的取值范圍分類討論即可得出實數的取值范圍.（ii）要證,

轉化為證證,整理至,設兩個新函數,,分別對兩個新函數求導,判斷單調性,即可證得成立.

解：（1）的定義域為,

,

令,解得：,

令,解得：,

所以當,為增函數,當,為減函數,

所以時,有極大值,

所以;

（2）（i）由（1）知,,

則,即對恒成立,

所以對恒成立,

即對恒成立,

設,則對恒成立,

,

設,,

原問題轉化為：對恒成立,

①若,當時,

則,

不合題意;

②若,則對恒成立,

符合題意

③若,則,

令,,令,,

所以當時,為減函數,

當時,為增函數,

所以,

即,即;

綜上.

（ii）要證,

只需證,

即,即,

只需證,

設,,

因為

所以在上單調遞減,在上單調遞增,

所以：

因為恒成立,

所以在上單調遞增,

所以,則,則,

由（2）可知,,所以;

所以,

即,得證.

所以 成立.