Question

【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數與燒開一壺水所用時間的一組數據，且作了一定的數據處理（如下表），得到了散點圖（如下圖）.

表中，.

（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型？（不必說明理由）

（2）根據判斷結果和表中數據，建立關于的回歸方程；

（3）若單位時間內煤氣輸出量與旋轉的弧度數成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為，

Answer 1

【答案】（1）選取更合適；（2）；（3）時，煤氣用量最小.

【解析】

（1）根據散點圖的特點，可得更適合；

（2）先建立關于的回歸方程，再得出關于的回歸方程；

（3）寫出函數關系，利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.

（1）選取更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型；

（2）

由公式可得：，

，

所以所求回歸直線方程為：；

（3）根據題意，設，

則煤氣用量，

當且僅當時，等號成立，

即時，煤氣用量最小.