【題目】已知函數
，
，
.
(1)求
的極值；
(2)若對任意的
，當
時，
恒成立，求實數
的最大值；
(3)若函數
恰有兩個不相等的零點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
的極小值為
，無極大值；(2)
；(3) 
.
【解析】
(1)求出
，判斷其符號，得出的單調性即可
(2)將
變形為
，構造函數
，轉化為
在
恒成立即可
(3)求出
，然后分四種情況討論
(1)
，令
，得
.
列表如下：
|
| 1 |
|
| － | 0 | ＋ |
|
| 極小值 |
|
∵
，∴
的極小值為，無極大值.
(2)∵
，由(1)可知
等價于
，
即.
設
，則
在為增函數.
∴
在恒成立.
∴
恒成立.
設
，∵
在上恒成立
∴
為增函數.
∴在上的最小值為
.
∴
，∴
的最大值為.
(3)
①當
時，當
和
時，
，
單調遞增
當
時，
，單調遞減
所以的極大值為
所以函數至多一個零點
②當
時，
，在
上單調遞增.
③當
時，當和時，，單調遞增
當時，，單調遞減
所以的極大值為
的極小值為
所以函數至多有一個零點.
④當
時，當
，，單調遞增
當
時，，單調遞減
所以
Ⅰ：當
時，即
時，函數至多一個零點.
Ⅱ：當
時，
所以存在
，
所以函數在
上有唯一的零點.
又
所以函數在上有唯一的零點.
綜上所述：實數的取值范圍為.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優良品種B進行對照試驗．兩種小麥各種植了25畝，所得畝產數據(單位：千克)如下：
品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412, 414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454
品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395, 397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(1)作出莖葉圖；
(2)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產量及其穩定性進行比較，寫出統計結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
的圓心為，圓
：
的圓心為，一動圓與圓內切，與圓外切.
(1)求動圓圓心
的軌跡方程；
(2)過點
的直線
與曲線交于
，
兩點，點
是直線
上任意點，直線
，
，
的斜率分別為
，
，
，試探求，，的關系，并給出證明.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，左、右焦點分別為
、
，拋物線
的焦點
恰好是該橢圓的一個頂點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知圓
的切線
（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于
、
兩點，那么以
為直徑的圓是否經過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
，若曲線
與曲線關于直線
對稱.
（1）求曲線的直角坐標方程；
（2）在以
為極點，
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線
與的異于極點的交點為
，與的異于極點的交點為
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P(x0，y0)在曲線y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，
，n∈N*．記直線APn的斜率為kn．
（1）若k1＝2，求P1的坐標；
（2）若k1為偶數，求證：kn為偶數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知橢圓
的左焦點為
，點
在橢圓
上.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知圓
，連接
并延長交圓
于點
為橢圓長軸上一點（異于左、右焦點），過點
作橢圓長軸的垂線分別交橢圓和圓于點
（均在
軸上方）.連接
，記
的斜率為
，
的斜率為
.
①求
的值；
②求證：直線的交點在定直線上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，雙曲線
的右頂點為A，右焦點為F，點B在雙曲線的右支上，矩形OFBD與矩形AEGF相似，且矩形OFBD與矩形AEGF的面積之比為2：1，則該雙曲線的離心率為
A.
B.
C.
D.
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