Question

【題目】2015年春，某地干旱少雨，農作物受災嚴重，為了使今后保證農田灌溉，當地政府決定建一橫斷面為等腰梯形的水渠（水渠的橫斷面如圖所示），為減少水的流失量，必須減少水與渠壁的接觸面，若水渠橫斷面的面積設計為定值S，渠深為h，則水渠壁的傾斜角α（0＜α＜ ）為多大時，水渠中水的流失量最小？

Answer 1

【答案】解：作BE⊥DC于E，在Rt△BEC中，BC= ，CE=hcotα，又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD= ，故CD= ﹣hcotα．

設y=AD+DC+BC，則y= ﹣hcotα+ = + （0＜α＜ ），

由于S與h是常量，欲使y最小，只需u= 取最小值，u可看作（0，2）與（﹣sinα，cosα）兩點連線的斜率，由于α∈（0， ），點（﹣sinα，cosα）在曲線x2+y2=1（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上運動，當過（0，2）的直線與曲線相切時，直線斜率最小，此時切點為（﹣ ， ），則有sinα= ，且cosα= ，那么α= ，

故當α= 時，水渠中水的流失量最小．

【解析】由題意可得作BE⊥DC于E，在Rt△BEC中，求得BC= ，CE=hcotα，又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD= ，故CD= S h ﹣hcotα．
設y=AD+DC+BC則y= ﹣hcotα+ = + （0＜α＜ ）當取最小值兩點連線的斜率，由于α∈（0， ），點（﹣sinα，cosα）在曲線x2+y2=1（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上運動當過（0，2）的直線與曲線相切時，直線斜率最小，此時切點為（﹣ ， ），則有sinα= ，且cosα= ，那么α= ，故當α= 時，水渠中水的流失量最小．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式在最值問題中的應用的相關知識，掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．