Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在區間上的最值；

（2）討論函數的單調性；

（3）當時，有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ．

（2）當時， 在單調遞增；當時， 在單調遞增，在上單調遞減；當時， 在上單調遞減．（3）

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析導數在區間上符號變化規律，確定函數最值（2）先求導數，根據導函數符號是否變化進行分類討論： 時， ， 時， ， 時，先負后正，最后根據導數符號對應確定單調性（3）將不等式恒成立轉化為對應函數最值，由（2）得，即，整理化簡得，解得的取值范圍.

試題解析：解：（Ⅰ）當時， ，∴.

∵的定義域為，∴由得.

∴在區間上的最值只可能在， ， 取到，而， ， ，

∴，

（Ⅱ）， .

①當，即時， ，∴在上單調遞減；

②當時， ，∴在上單調遞增；

③當時，由得，∴或（舍去）

∴在單調遞增，在上單調遞減；

綜上，當， 在上單調遞增；

當時， 在單調遞增，在上單調遞減；當時， 在上單調遞減；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，

即原不等式等價于即整理得

∴，又∵，∴的取值范圍為.