Question

已知函數f（x）=e^x（sinx-cosx），x∈（0，2013π），則函數f（x）的極大值之和為（　　）

A． e2π(1-e2012π) e2π-1	B． eπ(1-e2012π) 1-e2π
C． eπ(1-e1006π) 1-e2π	D． eπ(1-e1006π) 1-eπ

Answer 1

∵函數f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）時，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）時，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）時f（x）遞增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）時f（x）遞減，
∴當x=2kπ+π（k∈Z）時，f（x）取極大值，
其極大值為f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又x∈（0，2013π），
∴函數f（x）的各極大值之和S=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π
═

eπ(1-e2π×1006)

1-e2π

=

eπ(1-e2012π)

1-e2π

．
故選：B．