Question

已知函數f（x）=x³-（2a+2）x²+bx+c，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=x-1，函數f（x）的導數y=f′（x）的圖象關于直線x=2對稱，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

∵f（x）=x³-（2a+2）x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-4（a+1）x²+b，
∵曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=x-1，
∴曲線y=f（x）在與x軸交點為（1，0），則f（1）=-1-2a+b+c=0，f′（1）=-1-4a+b=1，①
∵函數f（x）的導數y=f′（x）的圖象關于直線x=2對稱，
∴

2(a+1)

3

=2，②
由①②解得a=2，b=10，c=-5，
∴函數f（x）=x³-6x²+10x-5．