Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），且其導函數f′（x）的圖象過原點．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）當a＞0時，求函數f（x）的零點個數．

Answer 1

f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a，f'（x）=x²-（a+1）x+b
由f'（0）=0得b=0，f'（x）=x（x-a-1）．
（Ⅰ）當a=1時，f(x)=

1

3

x3-x2+1，f'（x）=x（x-2），f（3）=1，f'（3）=3
所以函數f（x）的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）=x（x-a-1）=-9，-a-1=-x-

9

x

=(-x)+(-

9

x

)≥2

(-x)•(- 9 x

)=6，a≤-7，
當且僅當x=-3時，a=-7，所以a的最大值為-7；
（Ⅲ）當a＞0時，x，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）的極大值f（0）=a＞0，
f（x）的極小值f(a+1)=a-

1

6

(a+1)3=-

1

6

[a3+3(a-

1

2

)2+

1

4

]＜0
又f(-2)=-a-

14

3

＜0，f(x)=

1

3

x2[x-

3

2

(a+1)]+a，f(

3

2

(a+1))=a＞0．
所以函數f（x）在區間(-2，0)，(0，a+1)，(a+1，

3

2

(a+1))內各有一個零點，
故函數f（x）共有三個零點．