Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax2+2lnx，曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為4．
（1）求a的值及切線方程；
（2）點(diǎn)P（x，y）為曲線y=f′（x）上一點(diǎn)，求y-x的最小值．

Answer 1

（1）∵f(x)=

1

2

ax2+2lnx，∴f′(x)=ax+

2

x

…2分
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為4，
∴f'（1）=a+2=4…3分
∴a=2…4分
∴f（1）=1…5分
∴切線方程為y-1=4（x-1），即4x-y-3=0…7分
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）…8分
∵點(diǎn)P（x，y）為曲線y=f'（x）上一點(diǎn)，
∴y-x=x+

2

x

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)，等號(hào)成立．…12分
∴y-x的最小值為2

2

．…13分．