Question

如圖，直三角棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，AA′=1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．
（1）證明：MN∥平面A′ACC′；
（2）求平面A′MN與平面MNC的夾角．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接AB′、AC′，說明三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，推出MN∥AC′，然后證明MN∥平面A′ACC′；
（2）建立直角坐標系，求出平面A′MN的法向量、平面MNC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出平面A′MN與平面MNC的夾角．

解答： （1）證明：連接AB′、AC′，
由已知∠BAC=90°，AB=AC，
三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，
所以M為AB′中點，
又因為N為B′C′的中點，
所以MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′；
（2）解：以A為坐標原點，分別以直線AB、AC、AA′為x，y，z軸，建立直角坐標系，如圖，
A（0，0，0），B（

2

，0，0），C（0，

2

，0），A′（0，0，1），B′（

2

，0，1），C′（0，

2

，1）．
所以M（

2

2

，0，

1

2

），N（

2

2

，

2

2

，1），
設

m

=（x₁，y₁，z₁）是平面A′MN的法向量，
由

m • A′M =0 m • MN =0

，得

2 2 x1- 1 2 z1=0 2 2 y1+ 1 2 z1=0

，得

m

=（1，-1，

2

），
同理平面MNC的法向量

n

=（-3，-1，

2

），
所以

m

•

n

=0
所以平面A′MN與平面MNC的夾角為90°．

點評：本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定，借助空間直角坐標系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關系，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，難度適中．