Question

設不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集為M，a、b∈M，
（1）證明：|

1

3

a+

1

6

b|＜

1

4

；
（2）比較|1-4ab|與2|a-b|的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：不等式的證明,絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）利用絕對值不等式的解法求出集合M，利用絕對值三角不等式直接證明：|

1

3

a+

1

6

b|＜

1

4

；
（2）利用（1）的結果，說明ab的范圍，比較|1-4ab|與2|a-b|兩個數的平方差的大小，即可得到結果．

解答： 解：（1）記f（x）=|x-1|-|x+2|=

3，x≤-1 -2x-1，-1＜x＜1 -3，x≥1

由-2＜-2x-1＜0解得-

1

2

＜x＜

1

2

，則M=（-

1

2

，

1

2

）．…（3分）
∵a、b∈M，∴|a|＜

1

2

，|b|＜

1

2

所以|

1

3

a+

1

6

b|≤

1

3

|a|+

1

6

|b|＜

1

3

×

1

2

+

1

6

×

1

2

=

1

4

．…（6分）
（2）由（1）得a²＜

1

4

，b²＜

1

4

．
因為|1-4ab|²-4|a-b|²=（1-8ab+16a²b²）-4（a²-2ab+b²）
=（4a²-1）（4b²-1）＞0，…（9分）
所以|1-4ab|²＞4|a-b|²，故|1-4ab|＞2|a-b|．…（10分）

點評：本題考查不等式的證明，絕對值不等式的解法，考查計算能力．