Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)， 的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上是否存在相異兩點(diǎn)，使其滿足:①直線與直線的斜率互為相反數(shù)；②線段的中點(diǎn)在軸上，若存在，求出的平分線與橢圓相交所得弦的弦長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何意義得，再根據(jù)A在橢圓上，列方程組，解得，（2）先設(shè)直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立解出E點(diǎn)橫坐標(biāo)；根據(jù)直線與直線的斜率互為相反數(shù)，可推出F點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)線段的中點(diǎn)在軸上，解出直線的斜率，最后根據(jù)幾何性質(zhì)得的角平分線方程為.

試題解析：解：(1)由已知得，

解得，

∴橢圓的方程.

(2)設(shè)直線的方程為，代入，得

.(*)

設(shè)， ，且是方程(*)的根，

∴，

用代替上式中的，可得，

∵的中點(diǎn)在軸上，∴，

∴，解得，

因此滿足條件的點(diǎn)， 存在.

由平面幾何知識(shí)可知的角平分線方程為.

∴所求弦長為.