Question

【題目】已知函數（），曲線在點處的切線與直線垂直.

（1）試比較與的大小，并說明理由；

（2）若函數有兩個不同的零點，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出f（x）的導數，由兩直線垂直的條件：斜率相等，即可得到切線的斜率和切點坐標，進而f（x）的解析式和導數，求出單調區間，可得f（2016）＞f（2017），即可得到20162017與20172016的大小；

（Ⅱ）運用分析法證明，不妨設x1＞x2＞0，由根的定義可得所以化簡得lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0．可得lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），要證明， ，即證明lnx1+lnx2＞2，也就是k（x1+x2）＞2．求出k，即證，令 ，則t＞1，即證．令（t＞1）．求出導數，判斷單調性，即可得證．

試題解析：

（1）依題意得，

所以，又由切線方程可得，即，解得

此時， ，

令，即，解得；

令，即，解得

所以的增區間為，減區間為

所以，即，

， .

（2）證明：不妨設因為

所以化簡得，

可得， .

要證明，即證明，也就是

因為，所以即證

即，令，則，即證.

令（），由

故函數在是增函數，所以，即得證.

所以.