Question

【題目】已知拋物線： ，焦點， 為坐標原點，直線（不垂直軸）過點且與拋物線交于兩點，直線與的斜率之積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若為線段的中點，射線交拋物線于點，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）設經過焦點的直線方程為，聯立直線的方程和拋物線的方程，寫出韋達定理，根據斜率之積等于求出的值，由此求得拋物線方程；（2）利用（1）求得點的坐標，利用直線的方程求出點的坐標，兩者橫坐標的比值大于，得證.

試題解析：

∵直線過點且與拋物線交于兩點， ，

設，直線（不垂直軸）的方程可設為．

∴，

∵直線與的斜率之積為，

∴，∴，得，

由，化為，

其中，

∴，

∴，拋物線．

（2）證明：設，∵為線段的中點，

∴，

∴直線的斜率為，

直線的方程為代入拋物線的方程，

得，∴，

∵，∴．