Question

已知函數（e為自然對數的底數）
（1）求函數的單調區間；
（2）設函數，存在實數，使得成立，求實數的取值范圍

Answer 1

（1）在上單調遞增，在上單調遞減；（2） 

試題分析：（1）求導得，根據導數的符號即可求出的單調區間（2）如果存在，使得成立，那么 由題設得，求導得 由于含有參數，故分情況討論，分別求出的最大值和最小值如何分類呢？由得，又由于 故以0、1為界分類 當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增以上兩種情況都很容易求得的范圍當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以最大值為中的較大者，最小值為，一般情況下再分類是比較這兩者的大小，但，由（1）可知，而，顯然，所以無解
試題解析：（1）∵函數的定義域為R，                   2分
∴當時，，當時，
∴在上單調遞增，在上單調遞減   4分
（2）假設存在，使得成立，則。
∵
∴           6分
當時，，在上單調遞減，∴，即
8分
②當時，，在上單調遞增，∴，即
10分
③當時，
在，，在上單調遞減，
在，，在上單調遞增，
所以，即―――――――― 
由（1）知，在上單調遞減，
故，而，所以不等式無解
綜上所述，存在，使得命題成立 12分