Question

已知函數f(x)＝ax²－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然對數的底數，a∈R.
(1)當a＝1時，求函數f(x)的單調區間與極值；
(2)是否存在實數a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）f(x)的單調增區間是，單調減區間為，極小值為＋ln 2.無極大值（2）a＝

(1)∵f(x)＝x²－ln x，f′(x)＝2x－＝，x∈(0，e]，
令f′(x)＞0，得＜x＜e，
f′(x)＜0，得0＜x＜，
∴f(x)的單調增區間是，單調減區間為.
∴f(x)的極小值為f＝－ln ＝＋ln 2.無極大值．
(2)假設存在實數a，使f(x)＝ax²－ln x，x∈(0，e]有最小值3，
f′(x)＝2ax－＝.
①當a≤0時，x∈(0，e]，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上單調遞減，
∴f(x)_min＝f(e)＝ae²－1＝3，a＝ (舍去)．
②當a＞0時，令f′(x)＝0，得x＝ ，
(ⅰ)當0＜ ＜e，即a＞時，
f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，
∴f(x)_min＝f＝－ln＝3，得a＝.
(ⅱ)當≥e，即0＜a≤時，x∈(0，e]時，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，e]上單調遞減，
∴f(x)_min＝f(e)＝ae²－1＝3，a＝(舍去)，此時f(x)無最小值．
綜上，存在實數a＝，使得當x∈(0，e]時，f(x)有最小值3.