Question

已知函數f(x)＝(ax²－2x＋a)·e^－x.
(1)當a＝1時，求函數f(x)的單調區間；
(2)設g(x)＝－－a－2，h(x)＝x²－2x－ln x，若x＞1時總有g(x)＜h(x)，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）單調遞增區間為(1,3)，單調遞減區間為(－∞，1)，(3，＋∞)．（2）－≤a≤

(1)當a＝1時，函數f(x)＝，其定義域為R.
f′(x)＝
由f′(x)＞0，得1＜x＜3，由f′(x)＜0，得x＜1或x＞3，
∴函數f (x)的單調遞增區間為(1,3)，單調遞減區間為(－∞，1)，(3，＋∞)．
(2)∵f′(x)＝，
∴g(x)＝－－a－2＝ax²－2(a＋1)x，
令φ(x)＝g(x)－h(x)＝x²－2ax＋ln x(x＞1)，
當x＞1時總有g(x)＜h(x)等價于φ(x)＜0在(1，＋∞)上恒成立．
φ′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝.
①若a＞，令φ′(x)＝0得x₁＝1，x₂＝.
當x₂＞x₁＝1，即＜a＜1時，在(1，x₂)上φ′(x)＜0，則φ(x)單調遞減；
在(x₂，＋∞)上φ′(x)＞0，則φ(x)單調遞增．
故φ(x)的值域為[φ(x₂)，＋∞)，不合題意，舍去．
當x₂≤x₁＝1，即a≥1時，同理可得φ(x)在(1，＋∞)上單調遞增，
故φ(x)的值域為(φ(1)，＋∞)，不合題意，舍去．
②若a≤，即2a－1≤0時，在區間(1，＋∞)上恒有φ′(x)＜0，則φ(x)單調遞減，φ(x)＜φ(1)＝－a－≤0，
∴－≤a≤