Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE和CF的中點.

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求證：平面BDGH//平面AEF；
（Ⅲ）求多面體ABCDEF的體積.

Answer 1

（Ⅰ）答案詳見解析；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）∵平面平面，且，由面面垂直的性質定理知平面，該題還可以利用線面垂直的判定定理證明，先證平面，得，又，進而證明平面；（Ⅱ）要證明面面平行，需尋求兩個線面平行關系，由，得平面；設，連接，則，從而平面，進而證明平面平面；（Ⅲ）對于不規則幾何體的體積問題，可以采取割補的辦法，將之轉化為規則的幾何體來求，所求幾何體的體積等于.
試題解析：（Ⅰ）證明：因為四邊形是正方形，所以.
又因為平面平面，平面平面，且平面，
所以平面.

（Ⅱ）證明：在中，因為分別是的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.設，連接，在中，因為，，所以，又因為平面，平面，所以平面.
又因為，平面，所以平面平面.
（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得平面，，四邊形的面積，
所以四棱錐的體積.同理，四棱錐的體積.
所以多面體的體積