Question

【題目】數列，定義為數列的一階差分數列，其中，（ ），設

（1）若，求證： 是等比數列，并求出的通項公式；

（2）若，又數列滿足： ：

①求數列的前和；

②求證：數列中的任意一項總可以表示成該數列中其他兩項之積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）由，得故，進而，可得數列為等比數列，即可求解數列的通項公式；

（2）①由（1）得，利用乘公比錯位相減法，即可求解數列的前項和.

②證明：由（1）得，對于給定的，若存在， ，且， ，

得出取，則，使得，得以證明.

試題解析：

（1）因為.

故，即，所以

故數列為等比數列，且，所以

（2）

，故數列是以為首項， 為公差的等差數列，

易求出

① ，

以上兩式相減得：

所以

②證明：由且，知，

對于給定的，若存在， ，且， ，

只需，只需

取，則

所以對于數列中的任意一項，

都存在與，使得，

即數列中的任意一項總可以表示成該數列其他兩項之積.