Question

已知函數,.
（1）求的單調區間；
（2）當時，若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）當時函數在上單調遞減，在上單調遞增；當時函數在上單調遞增，在上單調遞減。（2）

試題分析：（1）先求導可得，討論導數再其定義域內的正負，導數正得增區間，導數負得減區間。討論導數符號問題時應注意對正負的討論。（2）將問題轉化為當時，對于任意的恒成立。令，先求導，再討論導數的正負，從而得函數的單調性，根據單調性求函數的最值，使其最小值大于等于0即可。
解：（1）函數的定義域為.                                  1分
因為，                             2分
令，解得.                                      3分
當時， 隨著變化時，和的變化情況如下：

即函數在上單調遞減，在上單調遞增.        5分
當時， 隨著變化時，和的變化情況如下：

即函數在上單調遞增，在上單調遞減.       7分
（2）當時，對于任意的，都有成立，
即.
所以.
設.                            
因為,                      8分
令，解得.                                  9分
因為，
所以隨著變化時，和的變化情況如下：

即函數在上單調遞增，在上單調遞減.        10分
所以.             11分
所以.
所以.                                                12分
所以的取值范圍為.                                   13分
法二：
當時，對于任意的，都有成立，
即.
所以.
即.                                             8分
設.                            
因為,                                   
令，解得.                                      9分
所以隨著變化時，和的變化情況如下：

即函數在上單調遞減，在上單調遞增.        10分
所以.                      11分
所以.
所以.                                                12分
所以的取值范圍為.                                    13分